Задача Кеплера

Основная статья: Задача n тел

Задача Кеплера — это частный случай задачи двух тел, в которой система состоит из двух тел A и B с массами соответственно M и m (M >> m и система отсчёта связана с большим телом, т. е. это тело неподвижно).

Строгий математический анализ задачи двух тел, проведён­ный ещё Ньютоном, показал, что движение тел в гравитаци­онно-связанной системе подчиняется законам, которые были установлены Кеплером в применении к Солнечной системе и которые носят его имя. Решение задачи двух тел, получаемое из закона всемирного тяготения Ньютона, позволяет найти значения постоянных величин, которые входят в математиче­ские соотношения, выражающие эти законы.

Рис. 40. К вычислению потенци­альной энергии системы
Загрузка...

Решение задачи Кеплера

Потенциальная энергия

Найдём потенциальную энергию такой системы тел (рис. 40). При перемещении те­ла m из точки R1 в точку R2 будет совершена работа, равная:

A1,2 = (GMm / R2ср) • (R2R1).

Существует два средних значения: среднее арифметическое и среднее гео­метрическое. При малой разности обе­их величин различие между средними оказывается намного меньшим, чем различие между величинами. Поэтому мы можем заменить на произведе­ние R1R2. Тогда

A1,2 = (GMm / R2) — (GMm / R1).

Поскольку работа есть разность потенциаль­ных энергий, взятая с обратным знаком, ясно, что

EП = -GMm / R.

Полная энергия

Найдём теперь значение полной энергии системы. Для этого зафиксируем равенство полной энергии в точках эллипса A и B (рис. 41):

(mvA2 / 2) — (GMm / r) = (mvB2 / 2) — (GMm / R) [1]

и равенство моментов импульса в этих точках:

vAr = vBR. [2]

(Обозначения ясны из рисунка 41, если допустить, что Солнце находится в ле­вом фокусе эллипса.)

С помощью уравнения [2] исключим из уравнения [1] vB и перепишем по­лучившееся уравнение в виде

((mvA2 / 2) — (GMm / r)) • R2 + GMR — (mvA2r2 / 2) = 0.

Очевидно, что R является корнем этого трёхчлена. Прямой подстановкой убеждаемся, что r также является корнем этого трёхчлена. По теореме Виета получаем

2a = (R + r) = GMm / ((mvA2 / 2) — (GMm / r)) = GMm / Eпол и Eпол = -GMm / 2a.

Закон сохранения энергии

Теперь закон сохранения энергии может быть записан в виде

(mv2 / 2) — (GMm / r) = -GMm / 2a, [3]

где a — большая полуось орбиты, а r — расстояние от большего тела.

Согласно закону сохранения энергии полная энергия сис­темы есть величина постоянная. Отсюда следует вывод, что скорость v зависит только от радиус-вектора r. В противном случае E не может быть постоянной величиной. Таким обра­зом, в задаче остаётся только одна произвольная постоян­ная — полная энергия. Она задаётся значением скорости в про­извольной точке орбиты (т. е. для определённого значения r).

Вычисление скорости и орбит

После выполненных вычислений возможно определение скорости в любой точ­ке орбиты по формуле полной энергии. Поскольку v задаётся произвольным образом (исходя из условий данной конкретной задачи), ясно, что полная энергия может иметь любой знак, т. е. она может быть отрицательной, положительной и равной нулю.

Eпол меньше 0

В этом случае из формулы (3) получаем

r = GM / (|Eпол| + v2 / 2) < GM / |Eпол|,

т. е. тела, составляющие систему, не могут удалиться друг от друга на расстояние большее, чем r = GM / |Eпол|. Причём этот предел завышен. Если полная энергия тела отрицательна, то орбитой меньшего тела является эллипс. Система с отрицательной полной энергией называется гравитационно связанной.

Первая космическая скорость

Особый интерес представляет движение меньшего тела си­стемы по круговой орбите. В данном случае имеет место со­отношение

v1 = √(GM / R),

где R — радиус, или большая полуось, орбиты; v1первая космическая скорость.

Загрузка...

Теорема вириала

Отсюда следует, что в случае кругового движения кинети­ческая энергия в 2 раза меньше по модулю потенциальной. Поэтому

2Eк + Eп = 0.

Это соотношение называется теоремой вириала. Материал с сайта http://wikiwhat.ru

Eпол больше 0

При Eпол > 0 из формулы (3) получаем a < 0. В этом случае расстояние между телами никак не ограни­чено. Тела могут сходиться и расходиться на любое расстоя­ние. Орбитой меньшего тела будет гипербола. Система с положительной полной энергией называется гравитационно несвязанной.

Eпол = 0

Особый интерес представляет случай Eпол = 0. Меньшее тело при этом движется по пара­боле. Из этого следует, что гравитационно несвязанная систе­ма не может самопроизвольно превратиться в систему грави­тационно связанную, т. е. захват другого тела в рамках задачи двух тел невозможен. Это положение очень важно, ког­да рассматривается возможность образования системы Зем­ля — Луна путём захвата Луны.

Вторая космическая скорость

В этом слу­чае скорость тела равна:

v1 = √(2GM / R).

Эта скорость называется второй космической скоростью на расстоянии r.

Картинки (фото, рисунки)

  • Рис. 40. К вычислению потенци­альной энергии системы
  • Рис. 41. К определению полной энергии системы
На этой странице материал по темам:
  • Ключ от теста кеплера

  • Алгоритм решения задач закон кеплера

  • Анализ задачи кеплера програмирования для

  • 2 + 2 = 5 название теоремы

  • Решение задач по теме «конфигурация планет

Материал с сайта http://WikiWhat.ru